Je rodák z Modranky (nar. 25. 11. 1945), a preto jeho prvé futbalové začiatky boli v klube ŠK Modranka. Hrával tu ako žiak i dorastenec. Vekovo ešte ako dorastenec často v tréningovom procese vypomáhal i v kolektíve „A” mužov, ba dokonca za nich chytával v priateľských, či turnajových zápasoch. Osudovo rozhodujúci pre rozvoj talentu bol turnaj v Chtelnici, ktorý sledoval funkcionár z trnavského Spartaka, a tak v najbližšom prestupovom termíne prešiel František Kozinka do dorastu Spartaka. Bolo to v lete 1962. Po prvýkrát cestoval s vtedy ešte druholigovým seniorským „A” mužstvom na jar 1964 ako náhradný brankár Imricha Stachu do Michaloviec. Od leta už nasledovalo pôsobenie medzi mužmi, po boku Capana, ale už v I. lige. Súčasne sa Kozinka dostáva i do juniorských výberov Česko-Slovenska.

Na základnú vojenskú službu (ZVS) odchádza v októbri 1965 do Dukly Praha, kde chytáva poväčšine za druholigové „B” mužstvo vojakov. V Prahe bol 18 mesiacov, pretože hráči, ktorí odmietli Dukle podpísať profesionálne vojenské pokračovanie, boli na posledný polrok posielaní mimo Prahu. Kozinka doslúžil ZVS v druholigovej Dukle Tachov.

V októbri 1967 sa vrátil do Trnavy a hneď po vybalení sa balil futbalovo na finálový zápas SEP do Budapešti proti celku Dózsa Újpest. Nastúpil do brány a odchytal nielen celý zápas, ale aj odvetu v Trnave, ktorú Spartak vyhral 3:1. Tak sa priamo pričinil o prvú veľkú trnavskú trofej, víťazstvo v jubilejnom 25. ročníku SEP v roku 1967. Stalo sa po prvý raz, čo si trofej vybojovalo slovenské mužstvo. Chytal i v 13 zápasoch 1. ligy v ročníku 1967/68, ktorý bol pre Trnavu výnimočný ziskom prvého titulu majstra Česko-Slovenska. Aj v sezóne 1968/69 sa v bráne striedali s Josefom Gerykom, a tak to bolo i v najvýznamnejšom zápase trnavskej histórie Spartak – Ajax v apríli 1969. Fero chytal v domácej víťaznej odvete a udržal si v nej čisté konto. V tomto roku sa oslavoval v Trnave aj zisk druhého titulu majstra.

V lete 1969 sa v Spartaku diali rošády na brankárskych postoch. K stabilným gólmanom Gerykovi a Púchlemu prichádza mladý dorastenecký reprezentant Česko-Slovenska Dušan Keketi a František Kozinka odchádza do Bohemians Praha. „Klokani” síce z ligy vypadli a vrátili sa do nej až v sezóne 1972/73. V Bohemke zostáva Kozinka až do leta 1976 a v 1. lige zažil v tomto pražskom klube výrazne úspešné roky. Na základe svojich výkonov bol dokonca nominovaný do „Repre ČSSR A”, za ktoré odchytal síce iba jeden zápas v Košiciach proti ZSSR (2:2), ale bolo to vysoké ohodnotenie jeho výkonnosti.

V lete 1976 sa Kozinka vrátil do Trnavy a počas dvoch nasledujúcich rokov vytvorili výborný brankársky tandem s Keketim. Už to neboli roky boja o titul. Bolo to mužstvo, ktoré zapadlo až medzi mužstvá bojujúce o záchranu. Počas jesene 1978 nastal brankársky problém v Žiline, kde kedysi pôsobil aj jeho starší brat Marián a Fero bol ochotný pomôcť. Dlho tam však nevydržal. V lete 1979 z dôvodu zhoršeného zdravotného stavu ukončil aktívnu činnosť ako 33-ročný. Za Spartak odchytal v lige 79 zápasov.

K životnému jubileu prajeme oslávencovi do ďalších rokov hlavne dobré zdravie.